Ôn tập lại triết lý và trả lời phương pháp giải những dạng toán về hệ thức lượng trong tam giác ở lớp 10 qua những ví dụ tất cả giải thuật cụ thể.
Bạn đang xem: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10 có lời giải
Chúng ta buộc phải ghi nhớ những phương pháp với định lý trước khi vận dụng vào giải bài xích tập.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lí côsinTrong tam giác $ABC$ cùng với $BC = a$, $AC = b$ cùng $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$
Áp dụng phương pháp con đường trung con đường cùng với tam giác $ABC$ cùng $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ Mặt khác $EF$ là đường trung tuyến tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$
3. BÀI TẬPhường LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minch rằng trong phần đa tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$
a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VPhường = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). c) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). d) Áp dụng cách làm đường trung đường. e) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ đó suy ra điều nên minh chứng.
Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$
a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.
Xem thêm: Luật Chơi Sâm Là Gì ? Hướng Dẫn Cách Chơi Không Hiểu Nữa Thì Thôi!
Bài 3: Cho tam giác $ABC$ vừa lòng $a^4 = b^4 + c^4.$ Chứng minch rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. b) $2sin ^2A = ã B ung C.$
a) Dễ thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là lớn số 1. Và $a^4 = b^4 + c^4 Mặt khác theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ Do kia $widehat A b) $2sin ^2A = ã Bchảy C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$
Bài 4: hotline $S$ là diện tích S tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$
a) Ta có $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$
Bài 5: Cho tứ giác lồi $ABCD$, call $altrộn $ là góc hợp bởi vì hai tuyến phố chéo cánh $AC$ với $BD.$ Chứng minch diện tích $S$ của tđọng giác đến bởi vì công thức: $S = frac12AC.BD.sin alpha .$
Call $I$ là giao điểm hai đường chéo cánh. Khi đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta tất cả những góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ và $widehat DIA$ đôi một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin alpha .$ Do đó $S = frac12BI.AC.sin alpha $ $ + frac12ID.AC.sin altrộn $ $ = frac12AC.BD.sin altrộn .$
DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC1. PHƯƠNG PHÁPhường. GIẢI
Sử dụng định lí côsin, định lí sin, bí quyết con đường trung tuyến, bí quyết tính diện tích tam giác nhằm thay đổi đưa thiết về hệ thức contact cạnh (hoặc góc) từ bỏ đó suy ra dạng của tam giác.
2. CÁC VÍ DỤ
lấy một ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ thoả nguyện $sin C = 2sin Bcos A.$ Chứng minc rằng tam giác $ABC$ cân nặng.
Áp dụng định lí côsin và sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $C.$
lấy ví dụ như 2: Cho tam giác $ABC$ vừa ý $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.
Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông tại $A.$
ví dụ như 3: Nhận dạng tam giác $ABC$ trong các trường đúng theo sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$
a) Áp dụng công thức diện tích ta tất cả $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ gần như. b) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân tại $C.$
3. BÀI TẬPhường LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh tam giác $ABC$ cân nặng ví như $h_a = csin A.$
Sử dụng cách làm $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại $C.$
Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minc tam giác $ABC$ cân trường hợp $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$
Sử dụng bí quyết đường trung tuyến với định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$
Bài 3: Chứng minc rằng tam giác $ABC$ số đông lúc còn chỉ khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$
Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ Dấu bởi xảy ra Lúc còn chỉ lúc $a = b = c$ tốt tam giác $ABC$ những.
Bài 4: Cho tam giác $ABC.$ Tìm góc $A$ vào tam giác biết các cạnh $a$, $b$, $c$ vừa ý hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$
$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$
